Introdução ao Princípio Fundamental da Contagem
Aprenda a organizar escolhas em etapas e a contar todas as possibilidades de forma segura, sem precisar listar caso por caso.
O que é o Princípio Fundamental da Contagem?
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo, é uma estratégia para descobrir quantas possibilidades existem quando uma situação é formada por duas ou mais etapas sucessivas.
Se uma primeira etapa pode acontecer de m maneiras e, para cada uma delas, uma segunda etapa pode acontecer de n maneiras, então o processo completo pode acontecer de m × n maneiras. Se houver mais etapas, continuamos multiplicando a quantidade de opções de cada etapa.
Ideia central: antes de multiplicar, separe o problema em etapas. Pergunte: “o que preciso escolher primeiro, depois e depois?” Em seguida, conte as opções disponíveis em cada etapa.
Por que multiplicamos?
Imagine 2 opções de fruta — açaí e cupuaçu — e 3 tamanhos — 300 mL, 500 mL e 700 mL. Cada fruta pode ser combinada com cada tamanho. Por isso, temos 3 possibilidades para o açaí e outras 3 para o cupuaçu: ao todo, 6.
Visualização: uma árvore de possibilidades ou uma lista organizada ajuda a enxergar as combinações. O PFC faz a mesma contagem de forma mais rápida: 2 × 3 = 6.
Quando o problema apresenta etapas sucessivas e as opções de uma etapa podem ser combinadas com as opções da etapa seguinte. Se houver alguma restrição — por exemplo, “não pode repetir” ou “o primeiro algarismo não pode ser zero” — a quantidade de opções precisa ser ajustada em cada etapa antes da multiplicação.
Veja como organizar o raciocínio
Exemplo 1 — Rotas para uma atividade
Para chegar a um local de pesquisa, um grupo pode escolher entre 3 rotas fluviais. Ao chegar ao porto, pode seguir por 4 meios de transporte local.
- Etapa 1: escolher a rota → 3 opções.
- Etapa 2: escolher o transporte → 4 opções.
- Cada rota pode ser combinada com cada transporte.
- Aplicamos o PFC: 3 × 4.
Exemplo 2 — Cardápio amazônico
Uma refeição pode ser montada com 2 entradas, 3 pratos principais e 2 sobremesas.
- Entrada → 2 opções.
- Prato principal → 3 opções.
- Sobremesa → 2 opções.
- Aplicamos o PFC: 2 × 3 × 2.
Exemplo 3 — Questionário de verdadeiro ou falso
Um questionário possui 5 afirmações. Em cada uma, o estudante escolhe apenas V ou F.
- Cada questão tem 2 opções.
- Há 5 etapas sucessivas.
- Então: 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Desafio resolvido — Código sem repetição
Um código tem 3 algarismos distintos escolhidos entre 0, 1, 2, 3, 4 e 5, mas o primeiro não pode ser zero.
- 1º algarismo: 5 opções (1 a 5).
- 2º algarismo: restam 5 opções, pois o zero passa a ser permitido.
- 3º algarismo: restam 4 opções.
- Aplicamos o PFC: 5 × 5 × 4.
Resolva no caderno
Em cada questão, escreva primeiro as etapas e a quantidade de opções de cada uma. Só depois faça a multiplicação.
Para uma apresentação, um estudante pode escolher entre 3 camisetas, 4 calças e 2 pares de sapatos. Quantas combinações diferentes de roupa podem ser formadas?
Um questionário possui 4 perguntas de verdadeiro ou falso. De quantas maneiras diferentes ele pode ser respondido?
Uma barraca prepara sucos escolhendo 3 frutas amazônicas, 2 ingredientes adicionais e 2 tipos de embalagem. Quantos sucos diferentes podem ser montados escolhendo uma opção de cada etapa?
Para visitar uma comunidade, existem 4 rotas possíveis até um porto e, a partir dele, 3 opções de transporte local. Quantos trajetos completos diferentes podem ser escolhidos?
Um código de 3 algarismos distintos será formado usando 0, 1, 2, 3 e 4. O primeiro algarismo não pode ser zero. Quantos códigos diferentes podem ser formados?